Acerca de algunos modelos matemáticos sencillos para observar la evolución del Covid-19
Es indudable la bondad del modelo para Bogotá. Es más completo que los otros y permite por medio de cambiar el valor de los parámetros hacer ajustes a medida que se va avanzando en el tiempo. Es decir, es relativamente fácil actualizarlo. Se incluyó el modelo SIR dado su carácter de pionero y precisamente el modelo de Bogotá es una variante con la misma filosofía. En la literatura sobre el tema hay modelos donde se incluye adicionalmente ecuaciones que recogen la dinámica de nacimientos y defunciones por otras causas u otras variables. Sin embargo, en la mayoría de casos se trata de esquemas de compartimentos.
Por Diego Escobar
Economista y matemático
En múltiples publicaciones tanto en revistas especializadas como en prensa y televisión, en intervenciones de científicos y autoridades públicas se habla constantemente de los modelos matemáticos para estudiar y predecir la pandemia. Estos, es indudable sirven en gran medida para tomar decisiones de política pública pues simular que está pasando y sobre todo que va a pasar es de trascendental importancia. Afortunadamente, parece ser que las autoridades que toman las decisiones están siendo asesoradas por personas conocedoras de estos modelos y es de esperarse que de tomar en cuenta esta experticia puede llegar a que sin sesgos se decidan opciones con que quizás por primera vez sea la ciencia la que marque la pauta y no como ha sucedido en otras lares, como en los EE.UU. o Brasil, donde si al mandatario no le conviene por razones de índole política decidir lo que le aconsejan, simplemente despide al respectivo asesor o al ministro de salud y las consecuencias de creerse los poseedores de la verdad han sido nefastas.
Este documento tiene tres partes. En la primera, se van a usar las bases de datos del Ministerio de Salud para Colombia y de la Alcaldía Mayor de Bogotá para la ciudad. El carácter de esta primera parte es de tipo descriptivo y nos familiariza con términos y conceptos que esclarecen el tema. En la segunda parte, se van a presentar algunos modelos matemáticos para poder ver la evolución de las variables claves de la pandemia. En la última parte, se hará mención de otros modelos que se han venido utilizando y publicando en todo el mundo. No se pretende ser exhaustivo debido a que hoy por hoy la literatura es extensa.
Análisis descriptivo
En el gráfico No. 1 se muestra el total de infectados para todo el país, para Bogotá y para el Resto del país excluyendo Bogotá [1]
No se percibe, por un lado, el ‘aplanamiento’ de las curvas y, por el otro, las tasas de crecimiento [2] para diferentes períodos muestran el siguiente panorama:
Cuadro 1: Tasas de crecimiento
Es decir, el crecimiento promedio diario es menor para todo el país a partir de la cuarentena del 25 de marzo. Se reduce aún más a partir del 14 de abril y para el corto periodo desde la última prórroga, donde Bogotá alcanza un 3.49%. En cambio el del grupo Resto es mayor a causa de los casos de Villavicencio y Leticia.
Observando la gráfica que muestra promedios móviles con amplitud de 3 y 7 días tampoco se detecta el aplanamiento.
Gráfico 2: Medias móviles
Con respecto a los infectados según si se trata de casos importados o relacionados (contacto entre personas ya en el país) el panorama se presenta de la siguiente forma:
Gráfico 3: Infectados por Tipo
Observando en el caso de los importados por países y regiones, el panorama muestra los siguientes resultados:
Cuadro 2: Origen de los infectados
Se aplanó la curva de los casos importados, pero no en forma inmediata con el cierre de aeropuertos (25 de marzo) sino un poco después. En parte esto corresponde a los casos que se muestran en el cuadro donde se detecta que para Ecuador, Brasil y Panamá – países fronterizos de Colombia – un 62%. 83% y 85%, respectivamente, son después del cierre de aeropuertos.
Para finalizar esta parte descriptiva se muestra, por un lado, la evolución de los casos infectados desde el punto de vista del número de días en que se duplican estos:
Cuadro 3: No. De días en que se duplican los infectados
Los datos muestran que al inicio los días en que se duplicaban los infectados era muy rápido y ya para el último dato de que se dispone toma 14 días en pasar de 3584 casos a 7196.
Para el caso de Bogotá se utiliza la base de datos https://bogota.gov.co/coronavirus-en-bogota/
[3] que también usaremos posteriormente para el modelo del COVID-19 para la ciudad.
Los dos gráficos que siguen muestran la evolución en el tiempo (6 de marzo-23 abril) del total de casos y además distinguiendo entre los infectados los casos moderados, críticos y severos además de los fallecidos.
Gráfico 4: Infectados
Se deduce un crecimiento fuerte de los casos severos, que se estabilizan al final del periodo de observación, que pueden convertirse en críticos y en los moderados que pueden convertirse en críticos y necesiten pasar a UCI o ser hospitalizados, respectivamente y, un crecimiento en el número de fallecidos – 130 a 5 de mayo – pero con varios días en que no hubo nuevos casos.
Con respecto al tiempo de duplicación para el caso de Bogotá el panorama es similar al de todo el país.
Cuadro 4: Duplicación en Bogotá
Finalmente, una nota sobre el número de casos por localidad y la tasa de crecimiento de éstas para el período de dos meses entre marzo 6 y mayo 53:
Cuadro 5: Infectados por localidad y tasa de crecimiento
Los datos muestran 9 localidades con un crecimiento superior al 10% siendo preocupante los casos de Bosa, San Cristóbal y Kennedy.
Modelamiento matemático del covid-19
Existen multiplicidad de publicaciones de muchos modelos matemáticos en todo el mundo que tratan de explicar el comportamiento del virus, hacer proyecciones y servir como un instrumento para ayudar a tomar decisiones acertadas. George Box un conocido estadístico británico decía en 1976: “En esencia, todos los modelos están equivocados, pero algunos son útiles".
En esta parte del documento vamos a tratar tres modelos que, por un lado son sencillos, pero que tienen mucha difusión.
El modelo de Gompertz
El británico Benjamin Gompertz desarrolló en 1825 la ley que se conoce como ‘mortalidad de Gompertz’ que afirma que si la población en el tiempo t es P(t) (función de Gompertz) y c es la tasa de crecimiento y K el número de individuos en equilibrio (se conoce también como capacidad de carga) entonces como resultado de una ecuación diferencial con valor inicial Po se tiene que:
En la ciencia actuarial la ley de Gompertz es fundamental para la construcción de tablas de mortalidad que utilizan las compañías de seguros para sus cálculos de primas y rentas.
Si ahora tomamos la tabla del número de individuos infectados en Bogotá [4] y ajustamos los parámetros de la función de Gompertz en forma conveniente obtenemos el siguiente gráfico:
Gráfico 5: Modelo de Gompertz
Que muestra un ajuste bastante cercano entre los individuos afectados en el período 6 marzo a 5 de mayo, pero a su vez permite por Gompertz llevar a cabo una proyección que en este caso iría hasta el 17 de junio y que daría para esa fecha un total de 4.771 infectados.
El modelo SIR [5]
Quizás uno de los modelos más utilizados es el modelo de compartimentos SIR (Susceptibles–Infectados-Removidos [6]). Este modelo epidemiológico desarrollado por Kermack&McKendrick en 1927 relaciona las tres variables en cuestión – S, I y R – por medio de un sistema de ecuaciones diferenciales, pero el caso que se va tratar aquí se introduce un nuevo compartimento llamado E (Expuestos) que son personas que están infectadas pero no han presentado síntomas del COVID-19. Es decir, se tiene un modelo tipo SEIR:
Las respectivas ecuaciones diferenciales tienen la forma:
Donde ß, llamado tasa de transmisión, de manera que 1/ß mide la probabilidad de que un susceptible se infecte cuando entra en contacto con un infectado y ƴ, llamado tasa de recuperación, de manera que el periodo medio de recuperación es 1/ƴ. Se introduce un nuevo compartimento llamado E (Expuestos) y σ, de forma tal que 1/σ es el tiempo promedio de incubación. Nótese que para ambos casos se tiene:
SIR: S+I+R = N y para el SEIR: S+E+I+R = N
Tomando en forma discreta las ecuaciones del modelo SEIR y tomando un período de observación que va hasta el 31 de diciembre del 2020 se tiene el siguiente resultado para Bogotá:
Gráfico 6: Modelo y Observaciones reales marzo-mayo de 2020
Aquí no se detecta ningún ‘aplanamiento’. El modelo se ajusta por medio de la elección de los parámetros. En particular los valores de Ro (R sub cero) van variando desde 3.1 a 2.0.
Grafico 7: Proyección Infectados y Expuestos por el modelo
Fuente: vea Gráfico 6
El modelo muestra la proyección hasta diciembre 31 de 2020 llegando a tener para esa época un total de 340.572 con un máximo de 880.635 el 28 de octubre de 2020.
En el mismo sentido se observa la proyección de los casos Susceptibles y Expuestos:
Gráfico 8: Proyección Expuestos y Susceptibles
Fuente: vea Gráfico 6
Conclusión:
Con base en el modelo expuesto, que no es exacto debido a que en el tiempo los parámetros se van ajustando y se va calibrando el modelo y que se pierde precisión al tomar la versión discreta, sí deja ver que el virus no se acabará pronto.
Por último, se presenta el modelo desarrollado para Bogotá, por un grupo de investigadores que parte de la misma filosofía del modelo básico SIR.
Modelo SEIRF para Bogotá
Este modelo amplia el modelo SIR al introducir un conjunto de nuevos compartimentos. El modelo fue desarrollado por Juan Diego Mejía Becerra (Secretaría Distrital de Salud de Bogotá) Revisión de Zulma M. Cucunubá (Imperial College Londres), Fernando de la Hoz Restrepo (Universidad Nacional de Colombia), Darío Londoño Trujillo (Universidad de los Andes) y Diane Moyano Romero (Secretaría de Salud de Bogotá)[7] El esquema del modelo es ahora:
donde los compartimentos en los cuales se divide la población son:
- Susceptibles(S): Aquellos individuos que no han sido expuestos al virus y son susceptibles a ser infectados.
- Expuestos(E): Aquellos individuos que se encuentran en el período de latencia. Han sido inoculados por el patógeno pero aún no son infecciosos.
- Infecciosos Asintomáticos(Io): individuos que han sido inoculados por el virus son infecciosos, pero no han desarrollado síntomas.
- Infecciosos con síntomas Moderados(I1): infecciosos que presentan síntomas leves. Están en la casa, por lo general.
- Infecciosos con síntomas Severos(I2): presentan síntomas severos, pero no críticos. Requieren hospitalización.
- Infecciosos críticos(I3): presentan síntomas críticos. Requieren atención en UCI.
- Recuperados(R): pacientes que se recuperaron y no se vuelven a infectar.
- Muertos(F): individuos que fallecen a causa del virus.
El modelo se rige por un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionan las anteriores variables:
Los parámetros ßi, ωi, δi, ƴi, σi son determinantes en la evolución del sistema. Nótese, en particular que ß0 y ß1 no son fijos como los otros sino dependen del tiempo. Precisamente esta propiedad hace que el trabajo presente tres escenarios que son:
· Escenario 1 básico sin ninguna intervención
· Escenario 2 con cuarentena hasta 27 de abril
· Escenario 3 con cuarentena hasta 20 de junio
Es supremamente ilustrativo poder observar cómo se modifican las curvas respectivas de los Infectados:
Escenario1: sin restricciones
Escenario2: cuarentena hasta 27 abril
Escenario 3: cuarentena hasta 30 de junio
En primer lugar, nótese como se van corriendo en el tiempo los picos de las curvas.
En segundo lugar, para los escenarios 2 y 3, todos los parámetros se dejan iguales excepto ß0(t) y ß1(t) que recogen las características de los escenarios.
En tercer lugar, nótese que los valores máximos son para los escenarios 2 y 3 casi iguales con la sola diferencia de que en el primer caso los picos están en julio/agosto mientras que en el escenario 3 en septiembre/octubre.
Finalmente cabe observar en el siguiente gráfico que sucede en los 3 escenarios descritos con el número reproductivo efectivo Rt (R sub–t), que es función del número reproductivo básico R0 (R sub-cero), pero que va variando con el tiempo.
Lo notorio son los saltos del valor del número reproductivo en los momentos en los cuales se termina la cuarentena -26 abril en el escenario 2 y 30 junio en el escenario 3-
Consideraciones finales
Es indudable la bondad del modelo para Bogotá. Es más completo que los otros y permite por medio de cambiar el valor de los parámetros hacer ajustes a medida que se va avanzando en el tiempo. Es decir, es relativamente fácil actualizarlo. Se incluyó el modelo SIR dado su carácter de pionero y precisamente el modelo de Bogotá es una variante con la misma filosofía. En la literatura sobre el tema hay modelos donde se incluye adicionalmente ecuaciones que recogen la dinámica de nacimientos y defunciones por otras causas u otras variables. Sin embargo, en la mayoría de casos se trata de esquemas de compartimentos.
Finalmente, es importante resaltar que la comunidad científica ha desarrollado y publicado muchos otros modelos entre los cuales están, para sólo mencionar algunos, el modelo del Imperial College de Londres [8], los modelos de la Universidad de Laguna en Tenerife(España) [9] o el estudio de la Universidad Politécnica de Valencia [10].
Un caso que llamó mucho la atención es el documento: When will Covid-19 end? Data-driven Prediction.[11] Esto se debe a que de nuevo utilizando un modelo tipo SIR predice para muchos países del mundo cuando se va a terminar el virus. Aunque es interesante, no deja de tener un pero muy importante que consiste en anunciar el fin de la historia y precisamente este punto se contradice por muchos de los otros modelos expuestos o nombrados en este documento.
Nota final
Al momento de escribir este documento, es alarmante la evolución de infectados en la localidad de Kennedy en Bogotá: para este mes de mayo los números publicados en la página de Bogotá: https://bogota.gov.co/coronavirus-en-bogota/muestran una secuencia de nuevos infectados de 9-18-27-22-51-50-51, es decir 186 nuevos casos del total de 719 (25.9%) en sete días.
[2] Se calcula con base en:
donde a es la amplitud (No. de días) y los Y son los valores acumulados desde el inicio i hasta el final t.
[3] http://saludata.saludcapital.gov.co/osb/index.php/datos-de-salud/enfermedades-trasmisibles/covid19/
[4] De nuevo de datos https://bogota.gov.co/coronavirus-en-bogota/
[5] W. O. Kermack & A. G. McKendrick "A contribution to the mathematical theory of epidemics" Proceedings of the Royal Society of London Series A, 115:700-721, 1927
[6] Se utiliza Removidos en cambio de lo que se utiliza interpretando la R como Recuperados porque se incluyen aquí tantos éstos como los fallecidos.
[7] Modelación Matemática de la Propagación del SARS-CoV-2 en la Ciudad de Bogotá, Segunda Versión, Bogotá, abril 4 de 2020. De nuevo en: http://saludata.saludcapital.gov.co/osb/wp-content/uploads/2020/04/Ficha_Metodologica.pdf
[10] https://covid19.webs.upv.es/modelo.html
[11] Jianxi Luo Data-Driven Innovation Lab (http://ddi.sutd.edu.sg) Singapore University of Technology and Design (http://www.sutd.edu.sg)